Rasyonel sayıların tekrarlı çarpımı - kuvvetleri

 Rasyonel sayıların tekrarlı çarpımlarından önce tam sayıların kuvvetlerine bakmanız size yardımcı olabilir .

Pozitif rasyonel sayıların kuvvetlerini bir örüntüyle başlayalım ;

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{5}=\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right)=\left(\dfrac {3.3.3.3.3}{4.4.4.4.4}\right)=\left(\dfrac {243}{1024}\right)[/latex]

 

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{4}=\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right)=\left(\dfrac {3.3.3.3.}{4.4.4.4.}\right)=\left(\dfrac {81}{256}\right)[/latex]

 

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{3}=\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right)=\left(\dfrac {3.3.3}{4.4.4}\right)=\left(\dfrac {27}{64}\right)[/latex]

 

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{2}=\left(\dfrac {3}{4}\right).\left(\dfrac {3}{4}\right)=\left(\dfrac {9}{16}\right)[/latex]

 

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{1}=\left(\dfrac {3}{4}\right)[/latex]

 

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{0}=\left(\dfrac {?}{?}\right)[/latex]

Örüntüye dikkat edin , üstler 5 , 4, 3, 2, 1 ve 0 şeklinde gelmiş , sonuçlar pay ; 243 le başlamış , 3 e bölünmüş 81 , 3 e bölünmüş 27 , 3 e bölünmüş 9 , 3 e bölünmüş 3 , 3 ise 3 e bölünmeli ve pay 1 olmalıdır.

Payda ise 1024 , 256 , 64 , 16 , 4 ve 4 te 4 e bölünecek sonuç 1 olmalı .

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{0}=\left(\dfrac {1}{1}\right)=1[/latex]

Örüntüyü devam ettirelim ;

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{-1}=\left(\dfrac {?}{?}\right)[/latex]

örüntüdeki pay 3 e bölünerek geliyor , 1 ( en son pay birdi ) tekrar 3 e bölünecek ve sonuç

[latex]\left(\dfrac {1}{3}\right) [/latex]  bu sadece paydır .

payda ise 4 e bölünerek geliyor , o halde ; 1 ( en sonki payda birdi ) tekrar  , 4 e bölünmeli

[latex]\left(\dfrac {1}{4}\right) [/latex]  bu sadece paydadır .

Payı ve paydayı yerine yerleştirelim .

[latex]\dfrac {\dfrac {\dfrac {1}{3}}{1}}{4}[/latex]

Şimdi kesirlerde bölme işlemini hatırlayalım . [latex]\left(\dfrac {1}{3}\right) [/latex] 1.kesir
[latex]\left(\dfrac {1}{4}\right) [/latex] 2.kesir

Kesirlerde bölmenin kuralı ; 1. kesir aynen kalır , 2.kesir ters çevrilir çarpılır.

[latex]\left(\dfrac {1}{3}\right).\left(\dfrac {4}{1}\right)=\left(\dfrac {4}{3}\right)[/latex]

Görüldüğü gibi sayımız negatif -1. kuvvete geçtiği anda ,
[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) [/latex] iken , takla attı [latex]\left(\dfrac {4}{3}\right) [/latex] oldu .

O halde , negatif kuvvet; rasyonel sayıların pay ve paydasını takla attırır , diğer bir değişle pay ve payda yer değişir.

[latex]\left(\dfrac {3}{4}\right) ^{-2} [/latex]

Kuraldan yapıyorum , üstteki negatif üstten dolayı rasyonel sayıyı takla attıralım ,

[latex]\left(\dfrac {4}{3}\right) ^{2} [/latex]

Artık bu noktadan sonra devam etmesi basit ;

[latex]\left(\dfrac {4}{3}\right) ^{2}= \left(\dfrac {4}{3}\right).\left(\dfrac {4}{3}\right)=\left(\dfrac {4.4}{3.3}\right)=\left(\dfrac {16}{9}\right)[/latex]

-3 , -4 , -5 kuvvetlerine de siz bakabilirsiniz.

Pozitif rasyonel sayıların kuvvetlerine baktık , şimdi negatif bir rasyonel sayı alalım ;

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{5}=\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right)=\left(\dfrac {(-3).(-3).(-3).(-3).(-3)}{4.4.4.4.4}\right)=\left(\dfrac {-243}{1024}\right)=\left(-\dfrac {243}{1024}\right)[/latex]

Şimdi birşey dikkatinizi çekti mi bilmiyorum ;
[latex]\left(-\dfrac {3}{4}\right) [/latex] kesir çizgisinin önündeki - yi , 3 ün yanına yani payın önüne aldık , neden paydanın önüne almadık ?
Nereye ne şekilde alırsanız alın , hepsi aynıdır , bakalım ;

[latex]\left(- \dfrac {3}{4}\right) [/latex]

şunlara eşittir ;

[latex]\left(\dfrac {-3}{4}\right) [/latex] , 3 ün işareti - , 4 ün işareti + , - nin + ya bölümü - olduğundan sonuç yine kesir çizgisi önündeki [latex]\left(- \dfrac {3}{4}\right) [/latex] olur .

Paydaya da koysanız , paya da koysanız aynıdır. Pay daha yaygın olarak kullanılır.

Devam edelim ;

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{4}=\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right)=\dfrac {(-3).(-3).(-3).(-3)}{4.4.4.4.4}=\dfrac {81}{256} [/latex]

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{3}=\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right)=\dfrac {(-3).(-3).(-3)}{4.4.4}=\dfrac {-27}{64}=-\dfrac {27}{64}\ [/latex]

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{2}=\left(-\dfrac {3}{4}\right).\left(-\dfrac {3}{4}\right)=\dfrac {(-3).(-3)}{4.4}=\dfrac {9}{16} [/latex]

 

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{1}=\dfrac {(-3)}{4}=-\dfrac {3}{4}[/latex]

 

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{0}=\dfrac {?}{?}=[/latex]

Yukarıda yaptığımız gibi , örüntüye bakalım , üst 5 , 4, 3, 2, 1 ve en son 0 a gelmiş , pay ise -243 , 81 , -27 , 9 , -3 , yani her zaman -3 e bölünmüş , en sonunda -3 ü de -3 e bölersek sonuç 1 olur .

Payda da aynı şekilde , örüntü 1024 , 64 , 16 , 4 ..hep 4 e bölünmüş , 4 ü de 4 e bölersek sonuç 1 olur .

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{0}=\dfrac {1}{1}=1[/latex]

 

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{-1}=[/latex]

En son payımız 1 idi , ve örüntü -3 e bölünerek geliyordu , 1 i -3 e bölersek

[latex] \dfrac {-1}{3}=[/latex]  bu sadece pay ,

paydanın örüntüsü ise 4 e bölerek geliyordu , 1 i 4 e böldüğümüzde

[latex] \dfrac {1}{4}\[/latex]  bu sadece payda ,

yerleştirelim

 

[latex]\dfrac {\dfrac {\dfrac {-1}{3}}{1}}{4}[/latex]

Yukarıda anlattığım gibi , kesirler kuralından , 1.kesir aynen kalır , 2.kesir ters çevrilir çarpılır.

[latex]\dfrac {\dfrac {\dfrac {-1}{3}}{1}}{4}=\dfrac {-1}{3} .\dfrac {4}{1}=\dfrac {-4}{3}[/latex]

şimdi kuralı kullanarak yapalım ;

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{-1}=\left(-\dfrac {4}{3}\right) ^{1} [/latex]

üstteki negatif kuvvetten dolayı sayımız takla attı , üstteki negatif üst kayboldu .

 

[latex] \left(-\dfrac {3}{4}\right) ^{-2}=\left(-\dfrac {4}{3}\right) ^{2}=\left(-\dfrac {4}{3}\right).\left(-\dfrac {4}{3}\right)=\dfrac {(-4).(-4)}{3.3}=\dfrac {16}{9}[/latex]

Diğer negatif üsler için siz bulabilirsiniz.