Açıklama : Bu yazı kesirlerde bölme işlemini modelleyerek kavramsal ( kesirlerde bölmenin aslında ne anlama geldiğini )  anlatmak için uzun emekler sonucu ortaya çıkmıştır .

Anlamada zorlandığınızda , biraz ara verip tekrar devam ediniz . Kavramsal bölmeyi bir kez kavradığınızda herşeyin çok daha mantıklı olduğunu göreceksiniz , yoksa klasik olarak anlatılan kesirlerde bölme işlemi için ” birinci kesir aynı kalsın , ikinci kesri ters çevir çarp” şeklinde anlatım  isteyenler bu konuya bakabilir.

Uzun bir konudur , sabrınız için teşekkürler.

Kesirlerde bölmeyi kavrayabilmek için öncelikle bölme ne demek bakalım ;

Bölme Kavramı 

Bölme ;   eş gruplandırmak demektir .

Grup sayısı x Her bir gruptaki eleman sayısı= Bölünen sayı

 

      24:6 nın anlamına bakalım :

1.Anlamı : 6 adet grup yaptığımda her bir grupta ne kadar olur ? / kaç tane gelir ?

24 adet bilyem olsun ve bu bilyeleri 6 adet kova yapıp bunların içine tek tek yerleştireyim ..

Burada en önemli şey , her bir grupta aynı sayıda/ eşit miktarda bilye bulunmak  zorundadır. Zaten “eş gruplamak” anlamı budur .

 

 2.Anlamı : 24 ü 6 şarlı olarak grupladığımda kaç grup oluşur ? 

( 24 ün içinde kaç tane 6 vardır ? sorusunun cevabıdır )

24 bilyeyi 6şarlı olarak gruplandırdığıdıma 4 eş grup oluştu ..

Görüldüğü gibi bölmenin birbirine yakın iki anlamı vardır ya kaç gruba ayıracağınız belli olmalı, ya da bir grupta kaç tane olacağı belli olmalı ki , kaç grup elde edebileceğinizi bulabilelim .

 

Bölmenin temel mantığı , kesirlerde bölme için de geçerlidir . 

Kesirlerde Bölme

Tamları kesirlere bölme

Örnek   ;

$$4:\frac{2}{3}$$

4 ün içinde kaç tane \(\frac{2}{3}\) var ?

Elimizde 4 tam olduğunu düşünelim ve bunu  \(\frac{2}{3}\) lik gruplara ayıralım .

\(\frac{2}{3}\) lik 6 grup oluştu .

Sonuç : $$4:\frac{2}{3}=6$$

Örnek ; 

$$3:\frac{2}{5}$$

3 üç içinde kaç tane \(\frac{2}{5}\) var ?

3 ü \(\frac{2}{5}\)  lik gruplara ayırdığımda , kaç grup / ne kadar grup elde ederim ?

 

3 tam aldık ve \(\frac{2}{5}\) lik  parçalara ayırdık , 7 tane tam  \(\frac{2}{5}\) oldu , beyaz kalan yer , \(\frac{2}{5}\) lik parça değil , peki beyaz olan yeri nasıl ifade edebiliriz ?

 Yanda 1 tane \(\frac{2}{5}\) görüyorsuuz , ( yukarıda var ) 2 parçadan oluşmakta.

 

 2 parça 1 tane  \(\frac{2}{5}\) den oluşmakta ise , 1 parça yarım \(\frac{2}{5}\) dir .  o halde toparlayalım ;

 

7 tane \(\frac{2}{5}\)  + yarım  \(\frac{1}{2 }\)  tane \(\frac{2}{5}\)  = \(7\frac{1}{2}\)  tane \(\frac{2}{5}\)  .

 

Sonuç  ;  $$3:\frac{2}{5}=7\frac{1}{2}$$

 

Örnek ; $$5:\frac{3}{4}$$

5 in içerisinde kaç tane \(\frac{3}{4}\) var ?

5 tam alalım ve \(\frac{3}{4}\) lük parçalara ayıralım .

5 tam aldık ve \(\frac{3}{4}\) lük gruplara ayırdık. Şu anda 6 tane tam grup oluşturabildim . ( Renklere dikkat edin , 6 grup var ) Ve hala elimde, 2 tane beyaz renklendirilmemiş bölgem var. Buranın ne kadarlık bir grup
olduğunu bulmam gerekiyor .

Biz yandaki \(\frac{3}{4}\) lük parçaya 1 grup demiştik . Bir grup 3 parçadan oluşmakta.

3 parçadan oluşan bir şekil 1 grup sayılıyorsa , 2 parçadan oluşan bir grup ne kadarlık bir grup sayılmalı ?

Yukarıdaki şekil 3 parça \(\frac{3}{3}\) temsil etse ,  2 parça \(\frac{2}{3}\) temsil eder .

Yani ??? işareti ile gösterilen parçalar da \(\frac{2}{3}\) lik bir grup .

O halde elimizde kaç grup var bakalım ;

6 tane tam \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{2}{3}\) tane \(\frac{3}{4}\)  = \(6\frac{2}{3}\) tane \(\frac{3}{4}\)

Sonuç ; $$5:\frac{3}{4}=6\frac{2}{3}$$

Kesirleri tamlara bölelim

$$\frac{2}{3}:4$$

Öncelikle bu bölmenin ne anlama geleceğine bakalım :

  1. anlamı :  \(\frac{2}{3}\) nin içinde kaç tane 4 var ?
  2. anlamı :  \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayırırsak , bir grupta kaç / ne olur ?

1.anlamı kulağa mantıksız geliyor çünkü \(\frac{2}{3}\)  nin içinde 4 olması imkansız .

ikinci anlama göre , \(\frac{2}{3}\)  yi 4 eş gruba ayırırsak , bir grupta kaç / ne olduğuna bakabiliriz.

Elinizde \(\frac{2}{3}\) parçalık bir pizza olduğunu düşünün ve bunu 4 arkadaş eş olarak paylaşacaksınız .

\(\frac{2}{3}\)  yi düşünürsek , elimizde \(\frac{1}{3}\)lik parçalardan 2 tane var değil mi ?  ama biz 4 kişiyiz , o halde herkese pizza düşebilmesi için o parçaları daha da küçük parçalara ayırmamız lazım .

O halde , \(\frac{2}{3}\)  yi 4 eş gruba ayıralım ,

öncelikle \(\frac{2}{3}\)  yi oluşturalım ;

 

Şimdi \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayırayım.

Bu gördüğünüz  parça eş gruplardan
bir tanesi . Yani bir kişiye düşecek olan parça ..
..
Peki bu parça / şekil ne kadarı
temsil ediyor ?

 

 

 

(Beyaz kesikli çizgilerle dikey olarak bölmeyi tercih ettim , siz yatay olarak da bölebilirsiniz, hatta daha kolaydır .)

 

Kesirlerin Temel kuralı : Bir şeyi kesir olarak ifade edebilmemiz için bütünün eş
parçalarından biri olması gerekir .

o halde bütünü eş parçalara ayıralım :

( Dikkat ! , yukarıdaki yaptığımız gruplamada sadece sarı olan bölge eş parçalara ayrılmıştı , şimdi beyaz olan yerler de eş parçalara ayrıldı ki , yukarıdaki yaptığımız gruplamanın , bütünün tamamının kaçta kaçına denk geldiğini bulabilelim )

 

 

 

 

Bir bütün 12 eş parçaya ayrılmış oldu . Benim amacım bir grubun ( yani 2 parçanın ) kaçta kaça denk geldiğini bulabilmek.

12 eş parçada 2 parça o halde sonuç ;

$$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{12}$$

 

    Örnek ; $$\frac{3}{5}:3$$

Bölmenin anlamına bakalım ;

\(\frac{3}{5}\) ü 3 eş gruba ayırırsak bir grupta kaç / ne olur ?

Daha önce birim kesirleri iyi öğrendiyseniz bunu mantıksal olarak hemen yapabilirsiniz .

\(\frac{3}{5}\) kesri , 3 tane \(\frac{1}{5}\) lerden oluşmuştur .

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$$

o halde sonuç \(\frac{1}{5}\) dir.

Bir kez de modelleyerek gösterelim ;

\(\frac{3}{5}\) 3 eş gruba ayrılınca her bir grup otomatikman, \(\frac{1}{5}\) i  temsil etmiş oldu.

 

 Örnek ;

$$\frac{3}{5}:5$$

Anlamı : \(\frac{3}{5}\) ü 5 eş gruba ayırırsam kaç / ne elde ederim ?

Öncelikle \(\frac{3}{5}\)  ü gösterelim ;

Taralı olan kısmı 5 eş parçaya ayıralım ,
( kesikli çizgilerle dikey olarak ayırdım )

Gruplara ayırayım ;

Kesirlerin Temel kuralı : Bir şeyi kesir olarak ifade edebilmemiz için bütünün eş
parçalarından biri olması gerekir .

o halde komple bütünü eş parçalara ayırayım ;

Bütünüm 25 eş parçaya bölünmüş oldu , grubumda ise 3 tane parça var

o halde sonuç ; $$\frac{3}{5}:5=\frac{3}{25}$$

Kesirleri , kesirlere bölme

$$\frac{1}{2}:\frac{1}{4}$$

Öncelikle ne anlama gelebileceğine bakalım ,

\(\frac{1}{2}\) nin içinde kaç tane \(\frac{1}{4}\) var ?

\(\frac{1}{2}\) yi \(\frac{1}{4}\) lük gruplara ayırmam lazım .

Öncelikle \(\frac{1}{2}\) oluşturayım

 

\(\frac{1}{2}\) içerisinde 2 tane \(\frac{1}{4}\) var .

Sonuç 2

 Örnek ;

$$\frac{3}{4}:\frac{2}{5}$$

Öncelikle işlemin ne anlama geldiğine bakalım ;

  1. Anlamı :\(\frac{3}{4}\) içerisinde kaç / ne kadar \(\frac{2}{5}\) var  ?
  2. Anlamı :\(\frac{3}{4}\) ü her bir grupta \(\frac{2}{5}\) olacak şekilde ayırdığımda kaç grup elde ederim ?

Daha kolay gruplandırma için birim kesirleri eşleyelim , nedeni aynı cinse getirmeliyim ki gruplandırabileyim , Bir

çuvalın içinde elmalarla armutlar olsun , bunları nasıl gruplandırabilirsiniz ? Eğer sadece elmalar olsaydı

örneğin ;3 er 3 er ya da 5 er 5 er gruplandırabilirdim. Eşledikten sonra neden eşlediğimi daha kolay anlayacaksınız.

( Bu kısmı anlatmakta zorluk çektiğimin farkındayım , daha iyi bir açıklama üzerinde çalışıyorum )

$$\frac{3}{4}.\frac{5}{5}=\frac{15}{20}=15-tane-\frac{1}{20}$$

$$\frac{2}{5}.\frac{4}{4}=\frac{8}{20}=8-tane-\frac{1}{20}$$

Birim kesirleri \(\frac{1}{20}\) de eşledik .  Şimdi bölme işlemimiz şu hale geldi ;

$$\frac{15}{20}:\frac{8}{20}=$$

  • \(\frac{15}{20}\) içerisinde kaç tane \(\frac{8}{20}\) vardır ?
  • \(\frac{15}{20}\) i \(\frac{8}{20}\) lik gruplara ayırdığımda kaç grup elde ederim ?

2.sinden devam edelim ,  yani \(\frac{15}{20}\) i \(\frac{8}{20}\) lik gruplara ayırdığımda kaç / ne kadar grup olduğuna bakmalıyım .

Elimde 15 tane \(\frac{1}{20}\) var ve bunları , 8 erli gruplara ayırmalıyım .

1 tam grup oluşturabildim ( siyah olan )  ama 2.grup ( pembe ) tam oluşmadı .

Her grup , 8 tane parçadan oluşuyor , 2.grupta 7 parça var , eğer 8 parça olsaydı 2.grubum tam olarak oluşacaktı ,

o  halde buna ne demeliyim ?

8 parça 1 grup ise , 1 parça \(\frac{1}{8}\) lik bir gruptur , 7 parça ise \(\frac{7}{8}\) lik bir grup olur .

1 tam grup ve \(\frac{7}{8}\) lik bir grubum var . o halde sonuç ;

$$1\frac{7}{8}$$

$$\frac{3}{4}:\frac{10}{6}$$

 

Öncelikle birim kesirleri eşleyelim ki , daha kolay gruplandırabilelim .

$$\frac{3}{4}.\frac{6}{6}=\frac{18}{24}$$

$$\frac{10}{6}.\frac{4}{4}=\frac{40}{24}$$

Birim kesirleri \(\frac{1}{24}\): de eşledik .

işlem şu hale geldi ;

$$\frac{18}{24}:\frac{40}{24}$$

Ne anlama gelir ?

  • \(\frac{18}{24}\) de kaç tane \(\frac{40}{24}\) var ?
  • \(\frac{18}{24}\) i \(\frac{40}{24}\) lık gruplara ayırdığımda kaç grup elde ederim ?

Hemen şunu diyebilirsiniz , iyi de \(\frac{18}{24}\) in içinde \(\frac{40}{24}\) yokki . \(\frac{40}{24}\) daha büyük bir kesir . Aslında haklısınız .

Şöyle , \(\frac{18}{24}\) in içinde \(\frac{40}{24}\) bir tam olarak yok .

Yani daha 1 grup oluşturamıyorsunuz. o halde bulacağınız sonuç mutlaka 1 den küçük bir sonuç olmalı öyle değil mi?

Elimizde parça uzunlukları \(\frac{1}{24}\) olan 18 tane parçacık olsun , bunların 40 tanesi bir grup ediyor .

Amacımız 18 tanesinin kaç / ne kadar grup ettiğini bulabilmek.

Her bir parçayı \(\frac{1}{40}\) lik bir grup olarak alabiliriz , 40 tane \(\frac{1}{40}\) yani \(\frac{40}{40}\) 1 tam grup yapar .

o halde 18 tane \(\frac{1}{40}\) , \(\frac{18}{40}\) lik bir grup yapar .

o halde sonuç ;

$$\frac{3}{4}:\frac{10}{6}=\frac{18}{40}$$

 

Bu anlatımı pdf şeklinde indirebilirsin 

Tüm matematik pdf anlatımları için tıkla 

https://i2.wp.com/ortaokulmatematik.com/wp-content/uploads/2-3-un-kesir-haline-getirilmesi.png?fit=302%2C301&ssl=1https://i2.wp.com/ortaokulmatematik.com/wp-content/uploads/2-3-un-kesir-haline-getirilmesi.png?resize=150%2C150&ssl=1Gazi CotakKesirlerAçıklama : Bu yazı kesirlerde bölme işlemini modelleyerek kavramsal ( kesirlerde bölmenin aslında ne anlama geldiğini )  anlatmak için uzun emekler sonucu ortaya çıkmıştır . Anlamada zorlandığınızda , biraz ara verip tekrar devam ediniz . Kavramsal bölmeyi bir kez kavradığınızda herşeyin çok daha mantıklı olduğunu göreceksiniz , yoksa klasik olarak...Konu Anlatımı Materyal Oyunlar Uygulamalar